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ANALISIS TRIDIMENSIONAL INELASTICO DE ESTRUCTURAS
Esp.
Ing. Ricardo Oviedo Sarmiento
La fase mas crítica de un análisis
estructural es crear un modelo en la computadora con un finito número de
miembros con masas y un finito numero de desplazamientos nodales que simulen el real comportamiento de la
estructura. Las masas pueden ser estimadas y las propiedades de rigidez
también con adecuada aproximación gracias a los experimentos. Pero las
cargas dinámicas, la disipación de energía y las condiciones de borde son
difíciles de estimar. Debido a lo complejo del análisis dinámico sísmico
inelástico se requieren de simplificaciones para obtener un modelo
matemático soluble con las computadoras disponibles.
3.1 ANÁLISIS DINÁMICO TRIDIMENSIONAL
Es recomendable en un
análisis tridimensional asociar la dirección principal con la que presenta
el modo fundamental de vibración y la dirección secundaria con aquella que
tenga 90 grados en relación a la principal.
3.1.1 Equilibrio dinámico
El
equilibrio de la fuerza de un sistema de múltiples grados de libertad en
función del tiempo puede ser expresado por la siguiente relación (79):
F(t)I + F(t)D + F(t)S = F(t) (3.1)
En
donde los vectores de fuerza en un tiempo t son:
F(t)I = es un vector de las fuerzas de
inercia actuando en las masas de los nudos.
F(t)D = es un vector del amortiguamiento viscoso, o fuerzas de disipación de energía .
F(t)S = es un vector de las fuerzas internas
cargadas por la estructura
F(t) = es un vector de las cargas externas
aplicadas.
Esta ecuación esta basada en
las leyes de la física y es valida para sistemas nolineales si el
equilibrio es formulado con respecto a la geometría deformada de la
estructura.
Es importante mencionar que
los desplazamientos debidos a acciones sísmicas, los cuales son normalmente
brindados por los programas de cómputo, usualmente son desplazamientos
relativos; y que las cargas sísmicas en la estructura están aplicadas a la
cimentación y no son cargas externas aplicadas a los nudos de la
estructura.
3.1.2 Modelo computacional tridimensional
Los efectos torsionales y accidentales deben ser considerados en
todas las estructuras. Todas las estructuras deben ser tratadas como
sistemas tridimensionales. Las estructuras con planos irregulares,
entrantes o pisos blandos pueden causar problemas adicionales si un modelo
tridimensional realístico es modelado. Este
modelo debe ser creado desde el inicio para luego ser sometido a cargas
sísmicas (55).
Solamente los elementos
estructurales con rigidez y ductilidad importante deben ser modelados. Los componentes
no estructurales pueden ser obviados. Los cortantes y deformaciones axiales
pueden ser considerados sin mayor esfuerzo por los programas de cómputo
actuales. La rigidez de la losa rígida ha sido aceptada para la mayoría de
las estructuras.
Los efectos P-delta deben
ser incluidos en todos los modelos estructurales. Estos efectos en el
análisis dinámico pueden producir pequeños incrementos en el período de los
modos. Una ventaja es que los factores de amplificación del momento para
todos los miembros pueden ser tomados como la unidad en todos los subsecuentes chequeos de
esfuerzos (36, 79).
La masa de la estructura
puede ser estimada con gran precisión. La mayor suposición requerida es
estimar la cantidad de carga viva a ser incluida en la masa. En el caso de
utilizar la aproximación del diafragma rígido, el momento rotacional de
inercia de la masa debe ser calculado.
3.1.3 Formas de modo y frecuencias tridimensionales
El primer paso en un
análisis dinámico modal de un modelo estructural, es el cálculo de las
formas de modo tridimensionales y las frecuencias naturales de vibración.
Para el cálculo de las funciones de forma ortogonales se han utilizado los
vectores Ritz de carga dependiente (79).
Cada forma de modo tridimensional de una
estructura puede tener componentes de desplazamiento en todas direcciones.
Las magnitudes de las fuerzas y los momentos no tienen significado porque
la amplitud de una forma de modo no tiene valor.
3.2 ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL NO LINEAL
El
análisis dinámico no lineal de sistemas estructurales predefine un número
de elementos nolineales que son asumidos que existen. Los vectores Ritz de carga dependiente de la masa y rigidez
ortogonal del sistema estructural elástico son utilizados para reducir el
tamaño del sistema no lineal a ser resuelto. Las fuerzas en los elementos
nolineales son calculados por iteración al final de cada paso. Las
ecuaciones modales desacopladas son resueltas exactamente para cada
incremento de tiempo. Las ecuaciones de equilibrio son formadas y resueltas
en cada incremento de carga (12, 79).
Las ecuaciones fundamentales
de equilibrio de fuerza-deformación y compatibilidad son satisfechas. La
fuerza exacta de equilibrio del modelo en computadora de una estructura en
un tiempo t es expresada por la siguiente ecuación matricial:
M ü (t)
+ C ů (t) + K u (t) + R (t)NL = R (t) (3.2)
Donde M, C y
K son las matrices de masas, amortiguamiento proporcional y rigidez
respectivamente. El tamaño de estas matrices cuadradas es igual al número
total de puntos de desplazamientos nodales desconocidos. La matriz de rigidez elástica K no toma en cuenta la rigidez
de los elementos nolineales. Los vectores dependientes del tiempo son la
aceleración, velocidad y desplazamiento respectivamente. El vector R(t)NL es el vector de fuerza resultante de
la suma de las fuerzas en los elementos nolineales y es calculado para cada
iteración en cada instante de tiempo.
3.2.1 Aceleración sísmica
Normalmente, 50 puntos por
segundo son utilizados para definir un registro de aceleración sísmica, y
se asume que la función de aceleración es lineal en cada incremento de
tiempo, tal como se muestra en la figura 3.1.
Las velocidades y los
desplazamientos pueden entonces ser calculadas de la integración de las aceleraciones
y velocidades en cada intervalo de tiempo (79):
= 1 ( üi – üi-1 ) (3.3)
Δt
ü(t)
= üi-1 + t
(3.4)
ů(t)
= ůi-1 + t üi-1 + t2
(3.5)
2
u(t)
= ui-1 + t ůi-1 + t2 üi-1 + t 3
(3.6)
2 6
La evaluación de estas
ecuaciones en t = Δt produce
el siguiente grupo de ecuaciones:
= 1 ( üi – üi-1 ) (3.7)
Δt
üi = üi-1 + Δt
(3.8)
ůi = ůi-1 + Δt üi-1 + Δt2
i=1,2,3… (3.9)
2
ui = ui-1 + Δt
ůi-1 + Δt2 üi-1 + Δt3
(3.10)
2 6
La integración de los registros
sísmicos en el suelo debería producir velocidad cero al final del registro.
Excepto en los registros cercanos a la falla sísmica, donde desplazamientos
cero podrían ser obtenidos al final del registro. Las aceleraciones
sísmicas reales son normalmente corregidas para satisfacer estos
requerimientos.
Los
desplazamientos son funciones cúbicas en cada incremento de tiempo. Si los
desplazamientos son usados como carga sísmica especificada, pequeños pasos
o un método de solución de orden superior, basado en desplazamientos
cúbicos, debe ser utilizado para el análisis dinámico estructural. Si las
aceleraciones son utilizadas como la carga básica, un método de solución de
bajo orden, basado en funciones lineales, puede ser usado para resolver el
problema de respuesta dinámica.
3.2.2 Método de solución paso a paso
El método de solución más
general para el análisis dinámico es un método incremental en donde las
ecuaciones de equilibrio son resueltas a incrementos de tiempo Δt,
2Δt, 3Δt, etc. Existen un gran número de métodos de soluciones
incrementales. En general, ellos envuelven una solución del juego completo
de ecuaciones de equilibrio en cada incremento de tiempo. En el caso del
análisis inelástico, puede ser necesario reformar la matriz de rigidez para
el completo sistema estructural para cada paso en el tiempo (79). También,
la interacción puede ser requerida en cada incremento de tiempo para
satisfacer el equilibrio. Como un resultado de los grandes requerimientos
computacionales, puede tomar una significante cantidad de tiempo resolver
los sistemas estructurales con una gran cantidad de grados de libertad.
El amortiguamiento numérico
o artificial debe ser añadido a la mayoría de los métodos de solución
incremental para obtener soluciones estables. Por esta razón, los
ingenieros deben ser muy cuidadosos en la interpretación de los resultados.
Para algunas estructuras inelásticas sujetas a movimientos sísmicos, los
métodos de solución incrementales son necesarios.
Para sistemas estructurales
muy grandes, una combinación del método de superposición modal y el método
incremental han resultado ser eficientes para sistemas con un pequeño
número de elementos nolineales.
3.2.3 Método de integración numérica
La aproximación más general
para resolver la respuesta dinámica de sistemas estructurales es la
integración numérica directa de las ecuaciones de equilibrio dinámico. Esto
involucra satisfacer el equilibrio dinámico a discretos puntos en el tiempo
después de que la solución ha sido definida en el tiempo cero. La mayoría
de los métodos usan intervalos iguales de tiempo. Los métodos explícitos no
involucran la solución de un grupo de ecuaciones lineales en cada paso.
Básicamente, estos métodos utilizan la ecuación diferencial en el tiempo
“t” para predecir una solución en el tiempo “t+Δt”.
En general, todos los métodos explícitos son condicionalmente estables con
respecto al tamaño del paso (79).
Los
métodos implícitos pretenden satisfacer la ecuación diferencial en el
tiempo “t” después de que la solución en el tiempo “t-Δt” ha sido
encontrada. Estos métodos requieren la solución de un grupo de ecuaciones
lineales en cada paso. Los métodos implícitos pueden ser condicionalmente o
incondicionalmente estables.
3.2.4 Método de Newmark
En
1959 Newmark presento el método de integración de paso único para la
solución de problemas dinámicos estructurales para cargas sísmicas. Durante
los pasados 40 años, el método de Newmark ha sido aplicado al análisis
dinámico de muchas estructuras en
ingeniería (79). También ha sido modificado y mejorado por otros
investigadores. Para ilustrar el uso del método de integración numérica,
consideremos la solución de la ecuación de equilibrio dinámico escrita de
la siguiente manera:
M üt + C ůt + K ut = Ft (3.13)
El uso
directo de las series de Taylor provee una rigurosa aproximación para
obtener las siguientes dos ecuaciones adicionales:
ut= ut-Δt + Δtůt-Δt + Δt üt-Δt + … (3.14)
2
ůt= ůt-Δt + Δtüt-Δt + … (3.15)
Newmark truncó estas ecuaciones
y las expresó de la siguiente forma:
ut= ut-Δt + Δtůt-Δt + Δt üt-Δt + βΔt3
… (3.16)
2
ůt=
ůt-Δt +
Δtüt-Δt + γΔt2
… (3.17)
Si
se supone que la aceleración es lineal en el paso, la siguiente ecuación puede
ser escrita:
= (üt - üt-Δt ) (3.18)
Δt
La sustitución de la
ecuación 3.8 en las ecuaciones 3.6 y 3.7 producen las ecuaciones de Newmark
en la forma estándar:
ut= ut-Δt + Δtůt-Δt +
(1/2 – β) Δt2 üt-Δt + βΔt2 üt (3.19)
ůt=
ůt-Δt + (1 -
γ)Δtüt-Δt + γΔtüt (3.20)
Newmark resolvió ecuaciones
(3.19, 3.20 y 3.13) por iteración para cada intervalo de tiempo, para cada
desplazamiento de cada grado de libertad del sistema estructural. El
termino üt fue obtenido de la ecuación 3.13, dividiendo la ecuación por la masa
asociada con el grado de libertad.
En
1962 Newmark formulo el método de Newmark en notación matricial,
adicionando rigidez y amortiguamiento proporcional a la masa, y elimino la
necesidad de la iteración al introducir la solución directa de las
ecuaciones en cada paso. Esto requiere que las ecuaciones 3.19 y 3.20 sean
rescritas en la siguiente forma:
üt = b1 (ut - ut-Δt) + b2ůt-Δt + b3 üt-Δt (3.21)
ůt=
b4 (ut - ut-Δt) + b5 ůt-Δt + b6üt-Δt (3.22)
La sustitución de las
ecuaciones 3.21 y 3.22 en la ecuación 3.23 permite el equilibrio dinámico
del sistema en el tiempo “t” a ser escrito en términos del desplazamiento
desconocido del nudo ut :
(b1M+b4C+K)ut=Ft+M(b1ut-Δt–b2ůt-Δt-b3üt-Δt)+C(b4ut-Δt–b5ůt-Δt–b6üt-Δt) (3.23)
3.2.5 El método de Hilber, Hugues y Taylor
El método utiliza el método
de Newmark para solucionar la siguiente ecuación modificada de movimiento:
Müt +
(1+α)C ůt + (1+α)Kut = (1+α)Ft - αFt + αK ůt-Δt + αK ut-Δt (3.24)
Cuando α es igual a cero, el
método se reduce al método de aceleración constante. El cual produce
disipación de energía en los modos altos. Este método es actualmente
utilizado en varios programas de cómputo (79). El desempeño del método es
similar al uso del amortiguamiento proporcional de rigidez.
3.2.6 Amortiguamiento viscoso
El amortiguamiento
estructural proporciona un amortiguamiento inherente en el sistema estructural.
Los procedimientos de análisis aplican un 5% de amortiguamiento viscoso,
este porcentaje lo asumen la mayoría de los códigos sísmicos. Comúnmente se
asume un amortiguamiento del tipo viscoso por su simplicidad matemática.
El amortiguamiento viscoso
especificado es el amortiguamiento de Rayleigh, donde la matriz de rigidez
[C], es construida de la matriz de masas [M] y la matriz de rigidez [K]:
[C] = α [M] + ß [K] (3.25)
Donde
α y ß, son coeficientes especificados por el usuario. Estas dos
constantes pueden ser calculadas para dos períodos de respuesta, T1 y T2, los cuales tienen asociados radios de amortiguamiento
viscosos, λ1 y λ2:
α = 4 ( T1 λ1 – T2 λ2 ) (3.26)
( T22 - T12)
ß = T1 T2 (T2λ1 – T1 λ2 ) (3.27)
( T22 - T12)
El uso de estas dos constantes, α
y ß, permite especificar
el amortiguamiento exactamente en dos períodos. Para todos los períodos
entre estos dos períodos el amortiguamiento será menos que el especificado
y para los períodos fuera del rango de estos dos períodos el
amortiguamiento será mayor que el especificado. A cualquier período T, el
amortiguamiento viscoso puede ser calculado como:
λ = α T + ß π (3.28)
4 π T
La figura
3.2 muestra el amortiguamiento total, de las componentes de la masa y la
rigidez respectivamente, donde α y ß han sido determinadas para
proporcionar un amortiguamiento de 5%. El amortiguamiento de masa se
incrementa con el incremento de los períodos y el amortiguamiento de
rigidez decrece con el incremento del período. Se puede apreciar en la
figura 3.2 que el amortiguamiento total se incrementa rápidamente para
períodos menores y mayores que los valores especificados.
Cuando
la matriz de amortiguamiento es proporcional al de la matriz de masas (α
= 0), el factor de
amortiguamiento es pequeño para las frecuencias altas de vibración. Pero,
si el amortiguamiento es proporcional a la matriz de rigidez (ß
= 0), el factor de
amortiguamiento es mayor para las frecuencias altas de vibración.
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